Математический анализ Примеры

$y = {(\sqrt{x} - 7)}^{- 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 3}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.9

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Этап 1.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.10.2

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$

Этап 1.10.3

Объединим $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.10.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.4.1

Перенесем ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Этап 1.10.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Этап 2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Этап 2.3.3

Объединим ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перенесем $3$ влево от ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Этап 2.3.4.2

Перенесем ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}] + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.6.2

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.11.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.12

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.13.2

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.13.3

Объединим $\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.13.4

Вынесем множитель $2$ из $4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.14.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.15.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.15.3

Разделим $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ на $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.16

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.17

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 2.18

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 2.20.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 2.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 2.22

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.23

Объединим ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.24

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.25

Чтобы записать $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.26

Объединим $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.28

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.29

Умножим $\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}}$ на $\frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.30

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.1

Применим правило умножения к $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.3.1

Вынесем множитель $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ из $3 \cdot 4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.3.1.1

Перенесем ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.3.1.2

Вынесем множитель $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ из $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.3.1.3

Вынесем множитель $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ из $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.3.1.4

Вынесем множитель $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ из $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.3.2

Добавим $4 x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{1} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.4.2

Упростим.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.4.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4 \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.4.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.31.4.4

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.4.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Этап 2.31.4.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Этап 2.31.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Этап 2.31.4.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Этап 2.31.4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Этап 2.31.4.4.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Этап 2.31.4.5

Вынесем множитель ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ из $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Этап 2.31.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.31.4.6.1

Вынесем множитель ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ из $4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Этап 2.31.4.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Этап 2.31.4.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5}}$