Математический анализ Примеры

$y = 12 (5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 (5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [(5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [(5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x^{2} - 1$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Этап 1.3.4.2

Перенесем $2$ влево от $5 x^{2} - 1$ .

$12 (2 \cdot (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.3.8

Умножим $2$ на $5$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x + 0))$

Этап 1.3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x))$

Этап 1.3.10.2

Перенесем $10$ влево от $x^{2} - 1$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + 10 \cdot (x^{2} - 1) x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 ((2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 1) x + 10 (x^{2} - 1) x)$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + 10 (x^{2} - 1) x)$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + (10 x^{2} + 10 \cdot - 1) x)$

Этап 1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + 10 x^{2} x + 10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (2 (5 x^{2}) x) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $5$ на $2$ .

$12 (10 x^{2} x) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (10 (x^{1} x^{2})) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 (10 x^{1 + 2}) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$12 (10 x^{3}) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.5

Умножим $10$ на $12$ .

$120 x^{3} + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$120 x^{3} + 12 (- 2 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.7

Умножим $- 2$ на $12$ .

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 (x^{1} x^{2})) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{1 + 2}) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.10

Добавим $1$ и $2$ .

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{3}) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.11

Умножим $10$ на $12$ .

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Этап 1.4.6.12

Умножим $10$ на $- 1$ .

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} + 12 (- 10 x)$

Этап 1.4.6.13

Умножим $- 10$ на $12$ .

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} - 120 x$

Этап 1.4.6.14

Добавим $120 x^{3}$ и $120 x^{3}$ .

$240 x^{3} - 24 x - 120 x$

Этап 1.4.6.15

Вычтем $120 x$ из $- 24 x$ .

$f' (x) = 240 x^{3} - 144 x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $240 x^{3} - 144 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

$\frac{d}{d x} [240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [240 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $240$ является константой относительно $x$ , производная $240 x^{3}$ по $x$ равна $240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$240 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$240 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $240$ .

$720 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 144$ является константой относительно $x$ , производная $- 144 x$ по $x$ равна $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$720 x^{2} - 144 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$720 x^{2} - 144 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 144$ на $1$ .

$f'' (x) = 720 x^{2} - 144$