Математический анализ Примеры

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{3} j + 1$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $j$ .

$\frac{j}{3} + 1$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + 1$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + 1 = \sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + \sum_{j = 1}^{7} 1$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $\frac{1}{3}$ за символ суммирования.

$(\frac{1}{3}) \sum_{j = 1}^{7} j$

Этап 3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{1}{3}) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $7$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{7 \cdot 8}{2}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{56}{2}$

Этап 3.4.1.3

Разделим $56$ на $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 28$

Этап 3.4.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $28$ .

$\frac{28}{3}$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{j = 1}^{7} 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$(1) (7)$

Этап 4.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$\frac{28}{3} + 7$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2

Объединим $7$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{28 + 7 \cdot 3}{3}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{28 + 21}{3}$

Этап 6.4.2

Добавим $28$ и $21$ .

$\frac{49}{3}$