Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 8]$ , найдем область определения $f (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 2.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 8]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(1, 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(1, 8)$ , найдем область определения $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(1, 8)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(1, 8)$ , поскольку производная является непрерывной на $(1, 8)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[1, 8]$ , дифференцируемое в области $(1, 8)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 8]$ , дифференцируемое в области $(1, 8)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[1, 8]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[1, 8]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = \ln (8)$

Этап 8.2

Окончательный ответ: $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Этап 9

Решим $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

Этап 9.1.2

Добавим $\ln (8)$ и $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

Этап 9.1.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

Этап 9.1.5

Перепишем $\frac{\ln (8)}{7}$ в виде $\frac{1}{7} \ln (8)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

Этап 9.1.6

Упростим $\frac{1}{7} \ln (8)$ путем переноса $\frac{1}{7}$ под логарифм.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 9.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ на $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Этап 9.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Изменим порядок множителей в $\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ .

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ .

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

Этап 9.4.2

Разделим каждый член $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ на $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Разделим каждый член $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ на $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ .

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Этап 9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Этап 9.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 8$ , находится в точке $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ .

Касательная в точке $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 8$ .

Этап 11