Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int x^{- 2} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Этап 9

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Этап 12.2

Упростим.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{x} + \frac{7 x^{2}}{2} - x + C$

Этап 12.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x} + \frac{7}{2} x^{2} - x + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x} + \frac{7}{2} x^{2} - x + C$