Математический анализ Примеры

$y = (x + 1) (7 \sqrt{x} + 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = 7 \sqrt{x} + 2$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 2] + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2

По правилу суммы производная $7 \sqrt{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(x + 1) (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x + 1) (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.10

Объединим $7$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(x + 1) (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.2

Добавим $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + 0)$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $x$ и $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$\frac{7 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{7 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.4.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.4.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.5

Умножим $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.6

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2 \cdot 1$

Этап 5.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 + 7 \sqrt{x}$