Математический анализ Примеры

$h (z) = (3 - z^{2}) (z^{3} - 3 z + 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = 3 - z^{2}$ и $g (z) = z^{3} - 3 z + 2$ .

$(3 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - 3 z + 2] + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $z^{3} - 3 z + 2$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 3 z] + \frac{d}{d z} [2]$ .

$(3 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 3 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- 3 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d z} [- 3 z]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $z$ , производная $- 3 z$ по $z$ равна $- 3 \frac{d}{d z} [z]$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $z$ , производная $2$ относительно $z$ равна $0$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3 + 0) + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 4.2

Добавим $3 z^{2} - 3$ и $0$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + (z^{3} - 3 z + 2) \frac{d}{d z} [3 - z^{2}]$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $3 - z^{2}$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + (z^{3} - 3 z + 2) (\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Этап 4.4

Поскольку $3$ является константой относительно $z$ , производная $3$ относительно $z$ равна $0$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + (z^{3} - 3 z + 2) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z^{2}$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + (z^{3} - 3 z + 2) (0 - \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + (z^{3} - 3 z + 2) (0 - (2 z))$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + (z^{3} - 3 z + 2) (0 - 2 z)$

Этап 6

Вычтем $2 z$ из $0$ .

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + (z^{3} - 3 z + 2) (- 2 z)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 - z^{2}) (3 z^{2} - 3) + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 - z^{2}) (3 z^{2}) + (3 - z^{2}) \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (3 - z^{2}) \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 3 \cdot - 3 - z^{2} \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 3 \cdot - 3 - z^{2} \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 3 \cdot - 3 - z^{2} \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.3

Умножим $z^{2}$ на $z^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Перенесем $z^{2}$ .

$9 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 3 \cdot - 3 - z^{2} \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 3 \cdot - 3 - z^{2} \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$9 z^{2} - 3 z^{4} + 3 \cdot - 3 - z^{2} \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$9 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - z^{2} \cdot - 3 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{4} - 9 + 3 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.6

Добавим $9 z^{2}$ и $3 z^{2}$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 + z^{3} (- 2 z) - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.7

Умножим $z^{3}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.7.1

Перенесем $z$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.7.2

Умножим $z$ на $z^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.7.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.7.3

Добавим $1$ и $3$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 + z^{4} \cdot - 2 - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.8

Перенесем $- 2$ влево от $z^{4}$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - 2 \cdot z^{4} - 3 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.9

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - 2 z^{4} + 6 z \cdot z + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.10

Возведем $z$ в степень $1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - 2 z^{4} + 6 (z^{1} z) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.11

Возведем $z$ в степень $1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - 2 z^{4} + 6 (z^{1} z^{1}) + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - 2 z^{4} + 6 z^{1 + 1} + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.13

Добавим $1$ и $1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - 2 z^{4} + 6 z^{2} + 2 (- 2 z)$

Этап 7.5.14

Умножим $- 2$ на $2$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 9 - 2 z^{4} + 6 z^{2} - 4 z$

Этап 7.5.15

Вычтем $2 z^{4}$ из $- 3 z^{4}$ .

$12 z^{2} - 5 z^{4} - 9 + 6 z^{2} - 4 z$

Этап 7.5.16

Добавим $12 z^{2}$ и $6 z^{2}$ .

$18 z^{2} - 5 z^{4} - 9 - 4 z$

Этап 7.6

Изменим порядок членов.

$- 5 z^{4} + 18 z^{2} - 4 z - 9$