Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 4) (4 x + 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = 4 x + 5$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [4 x + 5] + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 2

По правилу суммы производная $4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$(x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 4) (4 + 0) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 4.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (1 + 0)$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) \cdot 1$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 4 - 4 \cdot 4 + (4 x + 5) \cdot 1$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 4 - 4 \cdot 4 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$4 \cdot x - 4 \cdot 4 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

Этап 5.3.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$4 x - 16 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

Этап 5.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x - 16 + 4 x + 5 \cdot 1$

Этап 5.3.4

Умножим $5$ на $1$ .

$4 x - 16 + 4 x + 5$

Этап 5.3.5

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$8 x - 16 + 5$

Этап 5.3.6

Добавим $- 16$ и $5$ .

$8 x - 11$