Математический анализ Примеры

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Этап 1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\tan (θ) = \frac{противоположные}{смежные}$

Этап 2

Найдем гипотенузу треугольника в единичной окружности. Поскольку известны противолежащая и прилежащая стороны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Гипотенуза = \sqrt{{противоположные}^{2} + {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Гипотенуза = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

Гипотенуза $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

Гипотенуза $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Этап 4.3.5

Найдем экспоненту.

Гипотенуза $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $4$ на $3$ .

Гипотенуза $= \sqrt{12 + {(3)}^{2}}$

Этап 4.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{12 + 9}$

Этап 4.6

Добавим $12$ и $9$ .

Гипотенуза $= \sqrt{21}$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$

Этап 5.3

Упростим значение $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{21}$ под одним знаком корня.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3}{21}}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $3$ и $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 (1)}{21}}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{1}{7}}$

Этап 5.3.3

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}})$

Этап 5.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Этап 5.3.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Этап 5.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Этап 5.3.6.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Этап 5.3.6.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Этап 5.3.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Этап 5.3.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Этап 5.3.6.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 5.3.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 5.3.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Этап 5.3.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Этап 5.3.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Этап 5.3.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Этап 5.3.7

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Этап 6

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{21}}$ на $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Этап 6.3.2.2

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{21}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Этап 6.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Этап 6.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Этап 6.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $3$ и $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{21}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{21})}{21}$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Этап 7

Объединим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ и $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 8.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 8.3.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 8.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{21}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 10.3

Упростим значение $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $\sqrt{21}$ и $\sqrt{3}$ под одним знаком корня.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{21}{3}}}{2}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3}}}{2}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}}{2}$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}}{2}$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{2}$

Этап 10.3.2.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$