Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 1.1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Этап 1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.2.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \sin (x)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Изменим порядок членов.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.3.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.3.2.1.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.3.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.3.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Этап 1.2.3.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 1.2.5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 1.2.5.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 1.2.5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 1.2.5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 1.2.5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 1.2.5.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 1.2.5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.5.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.6

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 1.2.6.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 1.2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 1.2.6.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 1.2.6.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.6.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.6.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 1.2.6.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.6.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.6.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.6.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.6.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{π}{6}$ вместо $x$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 1.4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 1.4.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 1.4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{3} + \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 1.4.1.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 1.4.1.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.4.1.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.1.2.2

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.1.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.1.2.4.2

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{5 π}{6}$ вместо $x$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 1.4.2.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 1.4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 1.4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 1.4.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 1.4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \sqrt{3} + \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Этап 1.4.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Этап 1.4.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 1.4.2.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.4.2.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2.2

Чтобы записать $- \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1

Объединим $- \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2.4.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$2 \cos (\frac{3 π}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$2 \cos (\frac{π}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 1.4.3.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \cdot 0 + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 1.4.3.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 1.4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$0 + \sin (2 \frac{3 π}{2})$

Этап 1.4.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$0 + \sin (3 π)$

Этап 1.4.3.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$0 + \sin (π)$

Этап 1.4.3.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$0 + \sin (0)$

Этап 1.4.3.2.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 0$

Этап 1.4.3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 1.4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{6} + 2 π n, \frac{3 \sqrt{3}}{2}), (\frac{5 π}{6} + 2 π n, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{π}{6}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 \cos (0) + \sin (2 (0))$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + \sin (2 (0))$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \sin (2 (0))$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$2 + \sin (0)$

Этап 3.1.2.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$2 \cos (\frac{π}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \cdot 0 + \sin (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + \sin (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$0 + \sin (2 \frac{π}{2})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$0 + \sin (π)$

Этап 3.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$0 + \sin (0)$

Этап 3.2.2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 0$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, 2), (\frac{π}{2}, 0)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{π}{6}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Абсолютный минимум: $(\frac{π}{2}, 0)$

Этап 5