Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{2} + 5 x + 9)$ , $[- 3, 1]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 5 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Этап 1.1.1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 5 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.1.1.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.1.1.2.5

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.1.1.2.6

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + 0)$

Этап 1.1.1.2.7

Добавим $2 x + 5$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $2 x + 5$ на $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x + 5 = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\ln (x^{2} + 5 x + 9)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $- \frac{5}{2}$ вместо $x$ .

$\ln ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\ln (1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\ln (\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\ln (\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.6

Умножим $5 (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.6.2

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.6.3

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)$

Этап 1.4.1.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)$

Этап 1.4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)$

Этап 1.4.1.2.2.3

Запишем $9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})$

Этап 1.4.1.2.2.4

Умножим $\frac{9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 1.4.1.2.2.5

Умножим $\frac{9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Этап 1.4.1.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Этап 1.4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})$

Этап 1.4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 36}{4})$

Этап 1.4.1.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Вычтем $50$ из $25$ .

$\ln (\frac{- 25 + 36}{4})$

Этап 1.4.1.2.5.2

Добавим $- 25$ и $36$ .

$\ln (\frac{11}{4})$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$\ln ({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 9)$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\ln (9 + 5 (- 3) + 9)$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\ln (9 - 15 + 9)$

Этап 2.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вычтем $15$ из $9$ .

$\ln (- 6 + 9)$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $- 6$ и $9$ .

$\ln (3)$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\ln ({(1)}^{2} + 5 (1) + 9)$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (1 + 5 (1) + 9)$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\ln (1 + 5 + 9)$

Этап 2.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Добавим $1$ и $5$ .

$\ln (6 + 9)$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $6$ и $9$ .

$\ln (15)$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 3, \ln (3)), (1, \ln (15))$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(1, \ln (15))$

Абсолютный минимум: $(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Этап 4