Математический анализ Примеры

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, 7)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d y} (4 (x - 5))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(y - 3)}^{2}$ в виде $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 3) (y - 3)]$

Этап 2.2

Развернем $(y - 3) (y - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d y} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Этап 2.3.2

Вычтем $3 y$ из $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 6 y + 9]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $y^{2} - 6 y + 9$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $y$ , производная $- 6 y$ по $y$ равна $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 6 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.8

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 y - 6 + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.9

Поскольку $9$ является константой относительно $y$ , производная $9$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y - 6 + 0$

Этап 2.10

Добавим $2 y - 6$ и $0$ .

$2 y - 6$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 (x - 5)$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x - 5]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$4 (x' + \frac{d}{d y} [- 5])$

Этап 3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5$ относительно $y$ равна $0$ .

$4 (x' + 0)$

Этап 3.5

Добавим $x'$ и $0$ .

$4 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y - 6 = 4 x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $4 x' = 2 y - 6$ .

$4 x' = 2 y - 6$

Этап 5.2

Разделим каждый член $4 x' = 2 y - 6$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $4 x' = 2 y - 6$ на $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$x' = \frac{2 (y)}{4} + \frac{- 6}{4}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Этап 5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Этап 5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 6}{4}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 (- 3)}{4}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 7

Заменим $x$ на $9$ и $y$ на $7$ в этом выражении.

$\frac{d x}{d y} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 - 3}{2}$

Этап 8.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $3$ из $7$ .

$\frac{4}{2}$

Этап 8.2.2

Разделим $4$ на $2$ .

$2$