Математический анализ Примеры

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x e^{x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 3.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок множителей в $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Этап 6

Заменим $x$ на $0$ и $y$ на $0$ в этом выражении.

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

Этап 7

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

Этап 7.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Этап 7.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Этап 7.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Этап 7.1.5

Умножим $8$ на $1$ .

$0 + 8$

Этап 7.2

Добавим $0$ и $8$ .

$8$