Математический анализ Примеры

$3 \sin (y) + x = y^{2}$ ; $(π^{2}, π)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (3 \sin (y) + x) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 \sin (y) + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 \sin (y)$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (y)$ по $y$ равна $\cos (y)$ .

$3 \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 \cos (y) + x'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$x' + 3 \cos (y)$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x' + 3 \cos (y) = 2 y$

Этап 5

Вычтем $3 \cos (y)$ из обеих частей уравнения.

$x' = 2 y - 3 \cos (y)$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 y - 3 \cos (y)$

Этап 7

Заменим $x$ на $p^{2}$ и $y$ на $p$ в этом выражении.

$\frac{d x}{d y} = 2 (p) - 3 \cos (p)$

Этап 8

Умножим $2$ на $p$ .

$2 p - 3 \cos (p)$