Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos^{3} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos^{2} (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.6

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.8

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sin (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Этап 2.4.2

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 4

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 6.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 7

Приравняем $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 7.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 7.2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 7.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 7.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 7.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 7.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.7

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2.7.2

Обратная функция косинуса от $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ не определена.

Неопределенные

Этап 7.2.8

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2.8.2

Обратная функция косинуса от $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ не определена.

Неопределенные

Этап 7.2.9

Перечислим все решения.

Нет решения

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 0, π$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.3

Умножим $12$ на $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.8

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Этап 10.1.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Этап 10.1.10

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 6 - 3$

Этап 10.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6 - 3$

Этап 10.2.2

Вычтем $3$ из $- 6$ .

$- 9$

Этап 11

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Этап 12.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Этап 12.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Этап 12.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Этап 12.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Этап 12.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$f (0) = 5$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.4

Умножим $12$ на $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.7

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.7.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.8

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.12

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Этап 14.1.13

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Этап 14.1.14

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 14.1.15

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.15.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Этап 14.1.15.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Этап 14.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $0$ и $6$ .

$6 + 3$

Этап 14.2.2

Добавим $6$ и $3$ .

$9$

Этап 15

$x = π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Этап 16.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Этап 16.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Этап 16.2.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Этап 16.2.1.6

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Этап 16.2.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.2.1.8

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Этап 16.2.1.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Этап 16.2.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ — локальный максимум

$(π, - 5)$ — локальный минимум

Этап 18