Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 + \ln (x^{3})$ ; $x = e$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $e$ вместо $x$ .

$y = 2 + \ln ({(e)}^{3})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 + \ln (e^{3})$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 2 + \ln ({(e)}^{3})$

Этап 1.2.3

Упростим $2 + \ln ({(e)}^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3$ из степени.

$y = 2 + 3 \ln (e)$

Этап 1.2.3.1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y = 2 + 3 \cdot 1$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$y = 2 + 3$

Этап 1.2.3.2

Добавим $2$ и $3$ .

$y = 5$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = e$ и $y = 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 + \ln (x^{3})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$0 + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + \frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

Этап 2.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{3}{x^{3}} x^{2}$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{3}{x^{3}}$ и $x^{2}$ .

$0 + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$0 + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Этап 2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$0 + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Этап 2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Этап 2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{3}{x}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{3}{x}$ .

$\frac{3}{x}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = e$ .

$\frac{3}{e}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{3}{e}$ и координаты заданной точки $(e, 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{3}{e} \cdot (x - (e))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 5 = \frac{3}{e} \cdot (x - e)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{3}{e} \cdot (x - e)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{3}{e} \cdot (x - e)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 5 = \frac{3}{e} \cdot (x - e)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = \frac{3}{e} x + \frac{3}{e} (- e)$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{3}{e}$ и $x$ .

$y - 5 = \frac{3 x}{e} + \frac{3}{e} (- e)$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $e$ из $- e$ .

$y - 5 = \frac{3 x}{e} + \frac{3}{e} (e \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$y - 5 = \frac{3 x}{e} + \frac{3}{e} (e \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$y - 5 = \frac{3 x}{e} + 3 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y - 5 = \frac{3 x}{e} - 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{3 x}{e} - 3 + 5$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 3$ и $5$ .

$y = \frac{3 x}{e} + 2$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3}{e} x + 2$

Этап 4