Математический анализ Примеры

$x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{162}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{162}$ по $x$ равна $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ и $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4.3

Объединим $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ и $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Этап 1.1.9

Умножим $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ из $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ из $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Этап 2.2.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ из $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{x^{2}}{81}$ в виде ${(\frac{x}{9})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- {(\frac{x}{9})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.4

Изменим порядок $- {(\frac{x}{9})}^{2}$ и $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1^{2} - {(\frac{x}{9})}^{2}) = 0$

Этап 2.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{9}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} ((1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})) = 0$

Этап 2.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

$1 + \frac{x}{9} = 0$

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ к $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $1 + \frac{x}{9}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $1 + \frac{x}{9}$ к $0$ .

$1 + \frac{x}{9} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $1 + \frac{x}{9} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{9} = - 1$

Этап 2.5.2.2

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 9 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$x = - 9$

Этап 2.6

Приравняем $1 - \frac{x}{9}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $1 - \frac{x}{9}$ к $0$ .

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Этап 2.6.2

Решим $1 - \frac{x}{9} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{9} = - 1$

Этап 2.6.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 9$ .

$- 9 (- \frac{x}{9}) = - 9 \cdot - 1$

Этап 2.6.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Упростим $- 9 (- \frac{x}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{9}$ в числитель.

$- 9 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Этап 2.6.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Этап 2.6.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$9 \cdot - 1 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Этап 2.6.2.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - x = - 9 \cdot - 1$

Этап 2.6.2.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - 9 \cdot - 1$

Этап 2.6.2.3.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - 9 \cdot - 1$

Этап 2.6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.2.1

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$x = 9$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$ верно.

$x = - 9, 9$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 9$ вместо $x$ .

$(- 9) \cdot e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$- 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $81$ и $162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вынесем множитель $81$ из $81$ .

$- 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Этап 4.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $81$ из $162$ .

$- 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$(9) \cdot e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $81$ и $162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $81$ из $81$ .

$9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $81$ из $162$ .

$9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2.4

Объединим $9$ и $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 9, - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}), (9, \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5