Математический анализ Примеры

$x e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $e^{- \frac{x}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.3.6

Умножим $e^{- \frac{x}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{- \frac{x}{2}}$ из $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{x}{2}}$ из $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Этап 2.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $e^{- \frac{x}{2}}$ из $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- \frac{x}{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- \frac{x}{2}}$ к $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $- \frac{x}{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- \frac{x}{2} + 1$ к $0$ .

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Этап 2.5.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Этап 2.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x e^{- \frac{x}{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$(2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot e^{- 1}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 4.1.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(2, \frac{2}{e})$

Этап 5