Математический анализ Примеры

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 \sec (θ)$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sec (θ)$ по $θ$ равна $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Этап 1.1.3

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Этап 1.2

Первая производная $f (θ)$ по $θ$ равна $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

Этап 2.2

Заменим $\sec^{2} (θ)$ на $1 + \tan^{2} (θ)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Этап 2.5

Умножим $\tan (θ)$ на $\tan^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $\tan^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $\tan^{2} (θ)$ на $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Этап 2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

Этап 2.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

Этап 2.6

Упорядочим многочлен.

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Этап 2.7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Вынесем множитель $2 \sec (θ) \tan (θ)$ из $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1.1

Вынесем множитель $2 \sec (θ) \tan (θ)$ из $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Этап 2.7.1.1.2

Вынесем множитель $2 \sec (θ) \tan (θ)$ из $2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

Этап 2.7.1.1.3

Вынесем множитель $2 \sec (θ) \tan (θ)$ из $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

Этап 2.7.1.2

Применим формулу Пифагора.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

Этап 2.7.1.3

Умножим $\sec (θ)$ на $\sec^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Перенесем $\sec^{2} (θ)$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

Этап 2.7.1.3.2

Умножим $\sec^{2} (θ)$ на $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.2.1

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

Этап 2.7.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

Этап 2.7.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

Этап 2.8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

Этап 2.9

Приравняем $\sec^{3} (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Приравняем $\sec^{3} (θ)$ к $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

Этап 2.9.2

Решим $\sec^{3} (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.9.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.9.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\sec (θ) = 0$

Этап 2.9.2.3

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.10

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Приравняем $\tan (θ)$ к $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Этап 2.10.2

Решим $\tan (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (0)$

Этап 2.10.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 2.10.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + 0$

Этап 2.10.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$θ = π$

Этап 2.10.2.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.10.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.10.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.10.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.10.2.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ верно.

$θ = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.12

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (θ)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4

Вычислим $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ для каждого значения $θ$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $θ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $θ$ .

$2 \sec (0) + \tan (0)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \tan (0)$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем значение в $θ = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $π$ вместо $θ$ .

$2 \sec (π) + \tan (π)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

Этап 4.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + \tan (π)$

Этап 4.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$- 2 - \tan (0)$

Этап 4.2.2.1.5

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- 2 - 0$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ , для любого целого $n$

Этап 5