Математический анализ Примеры

$- 8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 8 \sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \sqrt{3} \cos (x)$ по $x$ равна $- 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 (2 \sin (x) \cos (x))$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $8$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 16 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 \sqrt{3} \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 \sqrt{3} \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 \sqrt{3} \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $8 \sin (x)$ из $8 \sqrt{3} \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $8 \sin (x)$ из $8 \sqrt{3} \sin (x)$ .

$8 \sin (x) \sqrt{3} + 16 \cos (x) \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $8 \sin (x)$ из $16 \cos (x) \sin (x)$ .

$8 \sin (x) \sqrt{3} + 8 \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $8 \sin (x)$ из $8 \sin (x) \sqrt{3} + 8 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$8 \sin (x) (\sqrt{3} + 2 \cos (x)) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{3} + 2 \cos (x) = 0$

Этап 2.4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Приравняем $\sqrt{3} + 2 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\sqrt{3} + 2 \cos (x)$ к $0$ .

$\sqrt{3} + 2 \cos (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\sqrt{3} + 2 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.5.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 2.5.2.6

Упростим $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 2.5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 2.5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 2.5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 2.5.2.6.3.2

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.5.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 \sin (x) (\sqrt{3} + 2 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- 8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin^{2} (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$- 8 \sqrt{3} \cos (0) + 8 \sin^{2} (0)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 8 \sqrt{3} \cdot 1 + 8 \sin^{2} (0)$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8 \sqrt{3} + 8 \sin^{2} (0)$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 8 \sqrt{3} + 8 \cdot 0^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 8 \sqrt{3} + 8 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $8$ на $0$ .

$- 8 \sqrt{3} + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $- 8 \sqrt{3}$ и $0$ .

$- 8 \sqrt{3}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$- 8 \sqrt{3} \cos (π) + 8 \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 8 \sqrt{3} (- \cos (0)) + 8 \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 8 \sqrt{3} (- 1 \cdot 1) + 8 \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 8 \sqrt{3} \cdot - 1 + 8 \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$8 \sqrt{3} + 8 \sin^{2} (0)$

Этап 4.2.2.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \cdot 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.8

Умножим $8$ на $0$ .

$8 \sqrt{3} + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $8 \sqrt{3}$ и $0$ .

$8 \sqrt{3}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{5 π}{6}$ вместо $x$ .

$- 8 \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6}) + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

$- 8 \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6})) + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 3^{1} + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.9.5

Найдем экспоненту.

$4 \cdot 3 + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.10

Умножим $4$ на $3$ .

$12 + 8 \sin^{2} (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.11

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$12 + 8 \sin^{2} (\frac{π}{6})$

Этап 4.3.2.1.12

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$12 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.13

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$12 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.3.2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$12 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Этап 4.3.2.1.15

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 + 8 (\frac{1}{4})$

Этап 4.3.2.1.16

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.16.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$12 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2.1.16.2

Сократим общий множитель.

$12 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Этап 4.3.2.1.16.3

Перепишем это выражение.

$12 + 2$

Этап 4.3.2.2

Добавим $12$ и $2$ .

$14$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, - 8 \sqrt{3}), (π + 2 π n, 8 \sqrt{3}), (\frac{5 π}{6} + 2 π n, 14)$ , для любого целого $n$

Этап 5