Математический анализ Примеры

$6 x + \sin (6 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $6 x + \sin (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$6 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$6 + \cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$6 + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 + \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 + \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \cos (6 x) \cdot 6$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $6$ влево от $\cos (6 x)$ .

$f' (x) = 6 + 6 \cos (6 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 + 6 \cos (6 x)$ .

$6 + 6 \cos (6 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 + 6 \cos (6 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 + 6 \cos (6 x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$6 \cos (6 x) = - 6$

Этап 2.3

Разделим каждый член $6 \cos (6 x) = - 6$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $6 \cos (6 x) = - 6$ на $6$ .

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\cos (6 x)$ на $1$ .

$\cos (6 x) = \frac{- 6}{6}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 6$ на $6$ .

$\cos (6 x) = - 1$

Этап 2.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$6 x = \arccos (- 1)$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$6 x = π$

Этап 2.6

Разделим каждый член $6 x = π$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $6 x = π$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 2.7

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$6 x = 2 π - π$

Этап 2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$6 x = π$

Этап 2.8.2

Разделим каждый член $6 x = π$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Разделим каждый член $6 x = π$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Этап 2.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Этап 2.8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 2.9

Найдем период $\cos (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.9.2

Заменим $b$ на $6$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 6 |}$

Этап 2.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$\frac{2 π}{6}$

Этап 2.9.4

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{6}$

Этап 2.9.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{3}$

Этап 2.10

Период функции $\cos (6 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $6 x + \sin (6 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{6}$ вместо $x$ .

$6 (\frac{π}{6}) + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$π + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$π + \sin (6 \frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$π + \sin (π)$

Этап 4.1.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$π + \sin (0)$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$π$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$6 (\frac{π}{2}) + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 π + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 π + \sin (2 (3) \frac{π}{2})$

Этап 4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{π}{2})$

Этап 4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 π + \sin (3 π)$

Этап 4.2.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$3 π + \sin (π)$

Этап 4.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$3 π + \sin (0)$

Этап 4.2.2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 π + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $3 π$ и $0$ .

$3 π$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{5 π}{6}$ вместо $x$ .

$6 (\frac{5 π}{6}) + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 π + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 π + \sin (6 \frac{5 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$5 π + \sin (5 π)$

Этап 4.3.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$5 π + \sin (π)$

Этап 4.3.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$5 π + \sin (0)$

Этап 4.3.2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$5 π + 0$

Этап 4.3.2.2

Добавим $5 π$ и $0$ .

$5 π$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{7 π}{6}$ вместо $x$ .

$6 (\frac{7 π}{6}) + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{7 π}{6} + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$7 π + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.4.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$7 π + \sin (6 \frac{7 π}{6})$

Этап 4.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$7 π + \sin (7 π)$

Этап 4.4.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$7 π + \sin (π)$

Этап 4.4.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$7 π + \sin (0)$

Этап 4.4.2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$7 π + 0$

Этап 4.4.2.2

Добавим $7 π$ и $0$ .

$7 π$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$6 (\frac{3 π}{2}) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 (3 π) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$9 π + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.5.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$9 π + \sin (2 (3) \frac{3 π}{2})$

Этап 4.5.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$9 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{3 π}{2})$

Этап 4.5.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$9 π + \sin (3 (3 π))$

Этап 4.5.2.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$9 π + \sin (9 π)$

Этап 4.5.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$9 π + \sin (π)$

Этап 4.5.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$9 π + \sin (0)$

Этап 4.5.2.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$9 π + 0$

Этап 4.5.2.2

Добавим $9 π$ и $0$ .

$9 π$

Этап 4.6

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{6}, π), (\frac{π}{2}, 3 π), (\frac{5 π}{6}, 5 π), (\frac{7 π}{6}, 7 π), (\frac{3 π}{2}, 9 π)$

Этап 5