Математический анализ Примеры

$0 = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 324 x$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{3} = - 72 x^{2} + 324 x$

Этап 1.2

Добавим $72 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} = 324 x$

Этап 1.3

Вычтем $324 x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$4 x (- x^{2}) + 72 x^{2} - 324 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $72 x^{2}$ .

$4 x (- x^{2}) + 4 x (18 x) - 324 x = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $- 324 x$ .

$4 x (- x^{2}) + 4 x (18 x) + 4 x (- 81) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{2}) + 4 x (18 x)$ .

$4 x (- x^{2} + 18 x) + 4 x (- 81) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{2} + 18 x) + 4 x (- 81)$ .

$4 x (- x^{2} + 18 x - 81) = 0$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ , а сумма — $b = 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $18$ из $18 x$ .

$4 x (- x^{2} + 18 (x) - 81) = 0$

Этап 3.1.1.2

Запишем $18$ как $9$ плюс $9$

$4 x (- x^{2} + (9 + 9) x - 81) = 0$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x (- x^{2} + 9 x + 9 x - 81) = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 x ((- x^{2} + 9 x) + 9 x - 81) = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 x (x (- x + 9) - 9 (- x + 9)) = 0$

Этап 3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 9$ .

$4 x ((- x + 9) (x - 9)) = 0$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (- x + 9) (x - 9) = 0$

Этап 4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$4 x (- (x) + 9) (x - 9) = 0$

Этап 4.2

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$4 x (- (x) - 1 \cdot - 9) (x - 9) = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 9)$ .

$4 x (- (x - 9)) (x - 9) = 0$

Этап 4.4

Перепишем $- (x - 9)$ в виде $- 1 (x - 9)$ .

$4 x (- 1 (x - 9)) (x - 9) = 0$

Этап 4.5

Избавимся от скобок.

$4 x \cdot (- 1 (x - 9) (x - 9)) = 0$

Этап 4.6

Возведем $x - 9$ в степень $1$ .

$4 x \cdot (- 1 ((x - 9) (x - 9))) = 0$

Этап 4.7

Возведем $x - 9$ в степень $1$ .

$4 x \cdot (- 1 ((x - 9) (x - 9))) = 0$

Этап 4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x \cdot (- 1 {(x - 9)}^{1 + 1}) = 0$

Этап 4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x \cdot (- 1 {(x - 9)}^{2}) = 0$

Этап 4.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 x {(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Приравняем ${(x - 9)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем ${(x - 9)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим ${(x - 9)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 7.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x {(x - 9)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 9$