Математический анализ Примеры

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

Этап 3

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Этап 4.2

Объединим $t$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

Этап 4.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

Этап 5

Пусть $u = - \frac{t}{3}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{3} d t$ , следовательно $- 3 d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - \frac{t}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{t}{3}$ по $t$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

Этап 6.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

Этап 6.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

Этап 7

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

Этап 8

Умножим $- 3$ на $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

Этап 10

Перепишем $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ в виде $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Этап 12.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Этап 12.3

Умножим $- 9$ на $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$