Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sec (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\sec (x)$ в виде $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int \frac{\frac{\csc (x)}{\cot (x)}}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 1.2

Применим обратное тождество.

$\int \frac{\frac{\csc (x)}{\cot (x)}}{{(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Этап 1.3.2

Объединим.

$\int \frac{\csc (x) \cdot 1}{\cot (x) {(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Этап 1.3.3

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x) {(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Этап 1.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cot (x)}$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x) \frac{1^{2}}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Этап 1.3.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x) \frac{1}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Этап 1.3.5

Объединим $\cot (x)$ и $\frac{1}{{\cot (x)}^{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x)}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Этап 1.3.6

Сократим выражение $\frac{\cot (x)}{{\cot (x)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x) \cdot 1}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Этап 1.3.6.2

Вынесем множитель $\cot (x)$ из ${\cot (x)}^{2}$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x) \cdot 1}{\cot (x) \cot (x)}} d x$

Этап 1.3.6.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x) \cdot 1}{\cot (x) \cot (x)}} d x$

Этап 1.3.6.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{1}{\cot (x)}} d x$

Этап 1.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 2

Поскольку производная $- \csc (x)$ равна $\csc (x) \cot (x)$ , интеграл $\csc (x) \cot (x)$ равен $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$