Математический анализ Примеры

$3 {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3})$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$

Этап 2

Пусть $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Тогда $d u = (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$ , следовательно $\frac{1}{- 5 - 4 x + 28 x^{3}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 5 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.4.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - 5 - 4 x + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Этап 2.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{4}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 (4 x^{3})$

Этап 2.1.5.3

Умножим $4$ на $7$ .

$0 - 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Этап 2.1.6.2

Изменим порядок членов.

$28 x^{3} - 4 x - 5$

Этап 2.1.7

Переставляем члены.

$- 4 x - 5 + 28 x^{3}$

Этап 2.1.8

Переставляем члены.

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int u^{2} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{3} + C$

Этап 4.2.3

Умножим $u^{3}$ на $1$ .

$u^{3} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

${(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{3} + C$