Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{125} \frac{i + 1}{15625}$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625} + \frac{1}{15625} = \sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625} + \sum_{k = 1}^{125} \frac{1}{15625}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $\frac{1}{15625}$ за символ суммирования.

$\frac{1}{15625} \sum_{k = 1}^{125} i$

Этап 2.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{1}{15625}) (\frac{125 (125 + 1)}{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Добавим $125$ и $1$ .

$\frac{1}{15625} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $125$ на $126$ .

$\frac{1}{15625} \cdot \frac{15750}{2}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $125$ из $15625$ .

$\frac{1}{125 (125)} \cdot \frac{15750}{2}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем множитель $125$ из $15750$ .

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Этап 2.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{125} \cdot \frac{126}{2}$

Этап 2.4.3

Умножим $\frac{1}{125}$ на $\frac{126}{2}$ .

$\frac{126}{125 \cdot 2}$

Этап 2.4.4

Умножим $125$ на $2$ .

$\frac{126}{250}$

Этап 2.4.5

Сократим общий множитель $126$ и $250$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $126$ .

$\frac{2 (63)}{250}$

Этап 2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $250$ .

$\frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 125}$

Этап 2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 125}$

Этап 2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{63}{125}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{125} \frac{1}{15625}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{1}{15625}) (125)$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $125$ из $15625$ .

$\frac{1}{125 (125)} \cdot 125$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot 125$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{125}$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$\frac{63}{125} + \frac{1}{125}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{63 + 1}{125}$

Этап 5.2

Добавим $63$ и $1$ .

$\frac{64}{125}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{64}{125}$

Десятичная форма:

$0.512$