Математический анализ Примеры

$\sum_{x = 0}^{\infty} {(0.03)}^{x}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{x}$ и $a_{x + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{0.03}^{x + 1}}{{0.03}^{x}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель ${0.03}^{x + 1}$ и ${0.03}^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель ${0.03}^{x}$ из ${0.03}^{x + 1}$ .

$r = \frac{{0.03}^{x} \cdot 0.03}{{0.03}^{x}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{0.03}^{x} \cdot 0.03}{{0.03}^{x} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{0.03}^{x} \cdot 0.03}{{0.03}^{x} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{0.03}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $0.03$ на $1$ .

$r = 0.03$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $x$ в ${(0.03)}^{x}$ .

$a = {0.03}^{0}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 1$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{1}{1 - 0.03}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $0.03$ из $1$ .

$\frac{1}{0.97}$

Этап 6.2

Разделим $1$ на $0.97$ .

$1.03092783$