Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{50} (2 i - 1) (2 i + 1)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(2 i - 1) (2 i + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 i (2 i + 1) - 1 (2 i + 1)$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i + 1)$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$

Этап 1.2

Объединим противоположные члены в $2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $2 i \cdot 1$ и $- 1 (2 i)$ .

$2 i (2 i) + 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.2

Вычтем $2 i$ из $1 \cdot 2 i$ .

$2 i (2 i) + 0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.3

Добавим $2 i (2 i)$ и $0$ .

$2 i (2 i) - 1 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 i \cdot i - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.2

Умножим $i$ на $i$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.2.2

Умножим $i$ на $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 i^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 i^{2} - 1$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1 = 4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + \sum_{i = 1}^{50} - 1$

Этап 3

Найдем значение $4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $50$ и $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $50$ на $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $100$ и $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2550$ на $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{257550}{3})$

Этап 3.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Этап 3.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $2$ на $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Этап 3.3.2.4.2

Разделим $515100$ на $3$ .

$171700$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{50} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$(- 1) (50)$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $50$ .

$- 50$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$171700 - 50$

Этап 6

Вычтем $50$ из $171700$ .

$171650$