Математический анализ Примеры

$y = 4 x - \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = 4 x - \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $4 x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба