Математический анализ Примеры

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ в виде ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 2

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $- k$ и $k$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 3

По правилу суммы производная $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ по $k$ имеет вид $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 4

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 5

Возьмем производную от $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ по $k$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $k$ , производная $- k$ по $k$ равна $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 7

Возьмем производную от $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ по $k$ , используя основную теорему математического анализа.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- k$ .

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило умножения к $- (k)$ .

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.2.3

Умножим $k^{2}$ на $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3

Вычтем $k^{2}$ из $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Сократим общий множитель.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.5.2

Перепишем это выражение.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.6

Найдем экспоненту.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.7

Умножим на ноль.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.7.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.8

Вычтем $k^{2}$ из $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 8.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Сократим общий множитель.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 8.10.2

Перепишем это выражение.

$0 + 0^{1}$

Этап 8.11

Найдем экспоненту.

$0 + 0$

Этап 8.12

Добавим $0$ и $0$ .

$0$