Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $\cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \sin (x) + \cos (x)$ .

$- \sin (x) + \cos (x)$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.3

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Сократим общий множитель.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.6.2

Перепишем это выражение.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 1.2.7

Разделим дроби.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.2.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 1.2.9

Разделим $0$ на $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Этап 1.2.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Этап 1.2.11

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 1.2.12

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.12.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 1.2.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 1.2.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.14.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.15

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.16

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 1.2.16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 1.2.16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 1.2.16.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \sin (0) + \cos (0)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f'' (0) = - 0 + \cos (0)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + \cos (0)$

Этап 4.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f'' (0) = 0 + 1$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = 1$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5