Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $10 x - 10 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 e^{- x}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.1.1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 1.1.1.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 1.1.1.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Этап 1.1.1.3.8

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Этап 1.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $10 e^{- x} + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 e^{- x}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.2.2

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.2.8

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Этап 1.1.2.3.2

Добавим $- 10 e^{- x}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 10 e^{- x} = 0$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 10 e^{- x} = 0$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $e^{- x}$ на $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 1.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 1.2.4

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 1.2.5

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

График вогнут вниз, так как вторая производная отрицательна.

График имеет вогнутость вниз.

Этап 4