Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{12}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 x - 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $8 x - 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 8 x - 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{12}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{2} - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2} = 0$

Этап 5.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Этап 5.2.4

Перепишем многочлен.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 5.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8 (\frac{1}{2}) - 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{1}{2} - 4$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2} - 4$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$4 - 4$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \frac{1}{2})$ в первую производную $4 x^{2} - 4 x + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Этап 10.2.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{1}{2}, \infty)$ в первую производную $4 x^{2} - 4 x + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 4 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 + 1$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 4 \cdot 9 - 4 \cdot 3 + 1$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$f' (3) = 36 - 4 \cdot 3 + 1$

Этап 10.3.2.1.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f' (3) = 36 - 12 + 1$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вычтем $12$ из $36$ .

$f' (3) = 24 + 1$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $24$ и $1$ .

$f' (3) = 25$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $25$ .

$25$

Этап 10.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = \frac{1}{2}$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11