Математический анализ Примеры

$f (x) = | 4 - x^{2} |$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- (2 x))$

Этап 1.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- 2 x)$

Этап 1.2.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |} x$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ и $x$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 (4 - x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{3})}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 8 x - 2 x^{3}$ и $g (x) = | 4 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (8 x - 2 x^{3}) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $8 x - 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (\frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 2 \frac{d}{d x} x^{3}) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 2 (3 x^{2})) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.7

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} | 4 - x^{2} |}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) - (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + 1 (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.5.2

Умножим $8 x - 2 x^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2})))}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (2 x)}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Объединим $2$ и $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) \cdot x}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.7.2

Объединим $x$ и $\frac{2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} \cdot 0$

Этап 2.5.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.9.1

Умножим $\frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}} + 0$

Этап 2.5.9.2

Добавим $- \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) \frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4 + 2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | (8 - 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{| 4 - x^{2} | \cdot 8 + | 4 - x^{2} | (- 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.2

Перенесем $8$ влево от $| 4 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{8 \cdot | 4 - x^{2} | + | 4 - x^{2} | (- 6 x^{2}) + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{8 \cdot | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x (2 \cdot 4) + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{x \cdot 8 + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.2

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 \cdot x + x (2 (- x^{2}))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{3})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.6

Перепишем $8 x - 2 x^{3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.6.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (4) - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.6.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (4) + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.6.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2^{2} - x^{2})}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.4.6.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.2

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.3

Развернем $(2 + x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 (2 - x) + x (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.5.4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.5.4.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 0 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.4.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.5.6

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + (8 x - 2 x^{3}) (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |})}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.6

Умножим $8 x - 2 x^{3}$ на $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{(8 x - 2 x^{3}) (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{(2 x (4) - 2 x^{3}) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{(2 x (4) + 2 x (- x^{2})) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{2 x (4 - x^{2}) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{2 x (2^{2} - x^{2}) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.3

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{2 x (2 + x) (2 - x) \cdot (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x (2 + x) (2 - x) x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{1 + 1} (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} (2 + x) (2 - x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.6

Возведем $2 + x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} ((2 + x) (2 + x)) (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.7

Возведем $2 + x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} ((2 + x) (2 + x)) (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{1 + 1} (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} (2 - x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.10

Возведем $2 - x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} ((2 - x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.11

Возведем $2 - x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} ((2 - x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{1 + 1}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.1.7.4.13

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 | 4 - x^{2} | - 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.2

Чтобы записать $8 | 4 - x^{2} |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) | + 4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) | + 4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |) + 4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |) + 4 (x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |) + 4 (x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.2

Развернем $(2 + x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 2 (2 - x) + x (2 - x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 + 0 - x^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.4

Умножим $2 | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.4.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.4.2

Возведем $4 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.4.3

Возведем $4 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | {(4 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | {(4 - x^{2})}^{2} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.5

Перепишем ${(4 - x^{2})}^{2}$ в виде $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.6

Развернем $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.7.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.7.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.7.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.8

Перепишем ${(2 + x)}^{2}$ в виде $(2 + x) (2 + x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} ((2 + x) (2 + x)) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.9

Развернем $(2 + x) (2 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (2 (2 + x) + x (2 + x)) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x)) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.10.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.10.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.10.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 2 x + 2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.10.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.12.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.12.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.12.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.12.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.12.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} x + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.13

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.13.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.13.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.13.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{1 + 2} + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.13.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.14

Перепишем ${(2 - x)}^{2}$ в виде $(2 - x) (2 - x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) ((2 - x) (2 - x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.15

Развернем $(2 - x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (2 (2 - x) - x (2 - x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (2 \cdot 2 + 2 (- x) - x (2 - x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (2 \cdot 2 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.16.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - x \cdot 2 - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - x (- x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.16.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x + 1 x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 2 x - 2 x + x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.16.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + (4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 4 x + x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.17

Развернем $(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) (4 - 4 x + x^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.6.3.4.18.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{3}) + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.4

Умножим $4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{2 + 2} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 4 x^{3} \cdot 4 + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.6

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 x^{3} x) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.8

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.8.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{3})) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.8.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.6.3.4.18.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 x^{1 + 3}) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.8.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 \cdot (- 4 x^{4}) + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.9

Умножим $4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{3} x^{2} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.10

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.10.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 (x^{2} x^{3}) + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{2 + 3} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.10.3

Добавим $2$ и $3$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.11

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 \cdot x^{4} + x^{4} (- 4 x) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{4} x + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.13

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.13.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 (x \cdot x^{4}) + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.13.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.13.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.6.3.4.18.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{1 + 4} + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.13.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{4} x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.14

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.18.14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{4 + 2})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.18.14.2

Добавим $4$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.19

Объединим противоположные члены в $16 x^{2} - 16 x^{3} + 4 x^{4} + 16 x^{3} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.4.19.1

Добавим $- 16 x^{3}$ и $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} + 0 - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.19.2

Добавим $16 x^{2} + 4 x^{4}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{5} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.19.3

Вычтем $4 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{4} + 0 + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.19.4

Добавим $16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{4}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} + 4 x^{4} - 16 x^{4} + 4 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.20

Вычтем $16 x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 12 x^{4} + 4 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.4.21

Добавим $- 12 x^{4}$ и $4 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.5

Чтобы записать $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.6

Объединим $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2}$ и $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) | + 4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) | + 4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |) + 4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |) + 2 (2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) |) + 2 (2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | (2 + x) (2 - x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.2

Развернем $(2 + x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 2 (2 - x) + x (2 - x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - 2 x + 2 x - x^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 + 0 - x^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - x^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.4

Умножим $- 3 | 4 - x^{2} | x^{2} | 4 - x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.4.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.4.2

Возведем $4 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.4.3

Возведем $4 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | {(4 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | {(4 - x^{2})}^{2} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.5

Перепишем ${(4 - x^{2})}^{2}$ в виде $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.6

Развернем $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.7.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.7.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.7.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 16 x^{2} - 8 x^{4} + x^{6}))}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 (2 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |) + 2 (16 x^{2}) + 2 (- 8 x^{4}) + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.8.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 (16 x^{2}) + 2 (- 8 x^{4}) + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.9.2

Умножим $16$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 32 x^{2} + 2 (- 8 x^{4}) + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.9.3

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 32 x^{2} - 16 x^{4} + 2 x^{6})}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.3.8.10

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 2.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Перепишем $\frac{\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |} \cdot \frac{1}{{| 4 - x^{2} |}^{2}})$

Этап 2.6.4.2

Умножим $\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ на $\frac{1}{{| 4 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | + 4 | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |)}{| (2 + x) (2 - x) | {| 4 - x^{2} |}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 4.1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 4.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 4.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- (2 x))$

Этап 4.1.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} (- 2 x)$

Этап 4.1.2.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |} x$

Этап 4.1.2.6.3

Объединим $\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ и $x$ .

$\frac{- 2 (4 - x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 (4 - x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{8 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{8 x + 2 (- x^{3})}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.1.3.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 x - 2 x^{3} = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x$ .

$2 x (4) - 2 x^{3} = 0$

Этап 5.3.1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$2 x (4) + 2 x (- x^{2}) = 0$

Этап 5.3.1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ .

$2 x (4 - x^{2}) = 0$

Этап 5.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 x (2^{2} - x^{2}) = 0$

Этап 5.3.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

$2 x ((2 + x) (2 - x)) = 0$

Этап 5.3.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (2 + x) (2 - x) = 0$

Этап 5.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 5.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.4

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.3.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 5.3.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 5.3.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.3.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 5.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 + x) (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 5.4

Исключим решения, которые не делают $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |} = 0$ истинным.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 4 - x^{2} | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$4 - x^{2} = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Этап 6.2.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 4$

Этап 6.2.4

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.4.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Этап 6.2.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 6.2.6

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 6.2.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 6.2.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 6.2.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 6.2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 16 {(0)}^{4} + 32 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - {(0)}^{2} |}^{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 16 {(0)}^{4} + 32 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - {(0)}^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{4} + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 - 16 \cdot 0^{4} + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (0 - 16 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.4

Умножим $- 16$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 32 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.6

Умножим $32$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.8

Умножим $- 3$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.9.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 - 8 \cdot 0 + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.9.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 + 0 + 0^{4} | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.9.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 + 0 + 0 | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.10

Добавим $16$ и $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 + 0 | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.11

Добавим $16$ и $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 | + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.12

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $16$ равно $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 \cdot 16 + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.13

Умножим $0$ на $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.14.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 - 8 \cdot 0 + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.14.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 + 0 + 0^{4} |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.14.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 + 0 + 0 |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.15

Добавим $16$ и $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 + 0 |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.16

Добавим $16$ и $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 |)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.17

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $16$ равно $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 \cdot 16)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.18

Умножим $4$ на $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.19

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.20

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.21

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{2 (0 + 64)}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.2.22

Добавим $0$ и $64$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| (2 + 0) (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 (2 - (0)) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 (2 + 0) | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 - 0^{2} |}^{2}}$

Этап 9.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 - 0 |}^{2}}$

Этап 9.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 + 0 |}^{2}}$

Этап 9.3.6

Добавим $4$ и $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 2 \cdot 2 | {| 4 |}^{2}}$

Этап 9.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{| 4 | {| 4 |}^{2}}$

Этап 9.3.8

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{4 {| 4 |}^{2}}$

Этап 9.3.9

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{4 \cdot 4^{2}}$

Этап 9.3.10

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{4 \cdot 16}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $2$ на $64$ .

$- \frac{128}{4 \cdot 16}$

Этап 9.4.2

Умножим $4$ на $16$ .

$- \frac{128}{64}$

Этап 9.4.3

Разделим $128$ на $64$ .

$- 1 \cdot 2$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | 4 - {(0)}^{2} |$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = | 4 - 0 |$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = | 4 + 0 |$

Этап 11.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = | 4 |$

Этап 11.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$f (0) = 4$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| (2 - 2) (2 - (- 2)) | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Избавимся от скобок.

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 (2 - (- 2)) | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Этап 13.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 (2 + 2) | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Этап 13.4

Добавим $2$ и $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 \cdot 4 | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Этап 13.5

Умножим $0$ на $4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{| 0 | {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Этап 13.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 4 - {(- 2)}^{2} |}^{2}}$

Этап 13.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 4 - 1 \cdot 4 |}^{2}}$

Этап 13.7.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 4 - 4 |}^{2}}$

Этап 13.8

Вычтем $4$ из $4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 {| 0 |}^{2}}$

Этап 13.9

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0 \cdot 0^{2}}$

Этап 13.10

Умножим $0$ на $0^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1

Умножим $0$ на $0^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1.1

Возведем $0$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0^{1} \cdot 0^{2}}$

Этап 13.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0^{1 + 2}}$

Этап 13.10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0^{3}}$

Этап 13.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} | + 4 | 16 - 8 {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{4} |)}{0}$

Этап 13.12

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 (- 4) - 2 {(- 4)}^{3}}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Умножим $8$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 32 - 2 {(- 4)}^{3}}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Этап 14.2.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 32 - 2 \cdot - 64}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Этап 14.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 32 + 128}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Этап 14.2.2.1.4

Добавим $- 32$ и $128$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| 4 - {(- 4)}^{2} |}$

Этап 14.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| 4 - 1 \cdot 16 |}$

Этап 14.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| 4 - 16 |}$

Этап 14.2.2.2.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{| - 12 |}$

Этап 14.2.2.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 12$ и $0$ равно $12$ .

$f' (- 4) = - \frac{96}{12}$

Этап 14.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1

Разделим $96$ на $12$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 8$

Этап 14.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (- 4) = - 8$

Этап 14.2.2.4

Окончательный ответ: $- 8$ .

$- 8$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 1$ , из интервала $(- 2, 0)$ в первую производную $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1) - 2 {(- 1)}^{3}}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8 - 2 {(- 1)}^{3}}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8 - 2 \cdot - 1}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8 + 2}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.1.4

Добавим $- 8$ и $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 - {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Этап 14.3.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Этап 14.3.2.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 + {(- 1)}^{3} |}$

Этап 14.3.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 4 - 1 |}$

Этап 14.3.2.2.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{| 3 |}$

Этап 14.3.2.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 6}{3}$

Этап 14.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.1

Разделим $- 6$ на $3$ .

$f' (- 1) = 2$

Этап 14.3.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Этап 14.3.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, 2)$ в первую производную $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 (1) - 2 {(1)}^{3}}{| 4 - {(1)}^{2} |}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 - 2 \cdot 1^{3}}{| 4 - 1^{2} |}$

Этап 14.4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{8 - 2 \cdot 1}{| 4 - 1^{2} |}$

Этап 14.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 - 2}{| 4 - 1^{2} |}$

Этап 14.4.2.1.4

Вычтем $2$ из $8$ .

$f' (1) = - \frac{6}{| 4 - 1^{2} |}$

Этап 14.4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{6}{| 4 - 1 \cdot 1 |}$

Этап 14.4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{6}{| 4 - 1 |}$

Этап 14.4.2.2.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$f' (1) = - \frac{6}{| 3 |}$

Этап 14.4.2.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$f' (1) = - \frac{6}{3}$

Этап 14.4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Этап 14.4.2.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (1) = - 2$

Этап 14.4.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 14.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{8 (4) - 2 {(4)}^{3}}{| 4 - {(4)}^{2} |}$

Этап 14.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1.1

Умножим $8$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{32 - 2 \cdot 4^{3}}{| 4 - 4^{2} |}$

Этап 14.5.2.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = - \frac{32 - 2 \cdot 64}{| 4 - 4^{2} |}$

Этап 14.5.2.1.3

Умножим $- 2$ на $64$ .

$f' (4) = - \frac{32 - 128}{| 4 - 4^{2} |}$

Этап 14.5.2.1.4

Вычтем $128$ из $32$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| 4 - 4^{2} |}$

Этап 14.5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| 4 - 1 \cdot 16 |}$

Этап 14.5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| 4 - 16 |}$

Этап 14.5.2.2.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{| - 12 |}$

Этап 14.5.2.2.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 12$ и $0$ равно $12$ .

$f' (4) = - \frac{- 96}{12}$

Этап 14.5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.3.1

Разделим $- 96$ на $12$ .

$f' (4) = 8$

Этап 14.5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f' (4) = 8$

Этап 14.5.2.4

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 2$ , $x = - 2$ — локальный минимум.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 14.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 14.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 2$ , $x = 2$ — локальный минимум.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 14.9

Это локальные экстремумы $f (x) = | 4 - x^{2} |$ .

$x = - 2$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

$x = - 2$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 15