Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ .

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ в виде ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 2, 1$

Этап 2.4.1.2

Избавимся от скобок.

$y - 2, 1$

Этап 2.4.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 2$

Этап 2.4.2

Каждый член в $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ умножим на $y - 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ на $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Этап 2.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x^{2} (y - 2)$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

Этап 2.4.2.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

Этап 2.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

Этап 2.4.3.2

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

Этап 2.4.3.3

Разделим каждый член $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Разделим каждый член $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.3.3.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ обратной к $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.4.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Этап 4.2.3.1.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.6

Перепишем ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.7

Сократим общий множитель $x - 2$ и ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.7.1

Умножим на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Этап 4.2.3.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.7.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x - 2)}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Этап 4.2.3.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Этап 4.2.3.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Этап 4.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

Этап 4.2.3.3

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

Этап 4.3.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

Этап 4.3.4

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

Этап 4.3.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 4.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ — обратная к $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$