Математический анализ Примеры

$\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1

Запишем $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ в виде ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Этап 2.3.8

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 2.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 2) (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}))$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x - 2$ и $g (x) = \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) (12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $12$ влево от $2 x - 2$ .

$f'' (x) = - (12 \cdot (2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.3.2.2

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ в виде ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.3.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 2$ на $12$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + 0)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.5.8

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.6

Возведем $2 x - 2$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.7

Возведем $2 x - 2$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{1 + 1} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $2 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Этап 3.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Этап 3.13

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Этап 3.14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Этап 3.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot 2)$

Этап 3.15.2

Объединим $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ и $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12 \cdot 2}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Этап 3.15.3

Умножим $12$ на $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Этап 3.16

Чтобы записать $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Этап 3.17

Объединим $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ и $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Этап 3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.19

Умножим ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ на ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1

Перенесем ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.19.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.1

Перепишем ${(2 x - 2)}^{2}$ в виде $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.2

Развернем $(2 x - 2) (2 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 8 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{(- 24 (4 x^{2}) - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.5.1

Умножим $4$ на $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.5.2

Умножим $- 8$ на $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.5.3

Умножим $- 24$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.6

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 3.20.2.1.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.7

Умножим $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ на $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 x^{2} + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.8.1

Вынесем множитель $96$ из $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.8.1.1

Вынесем множитель $96$ из $- 96 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.1.2

Вынесем множитель $96$ из $192 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.1.3

Вынесем множитель $96$ из $- 96$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.1.4

Вынесем множитель $96$ из $96 (- x^{2}) + 96 (2 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.1.5

Вынесем множитель $96$ из $96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.8.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.8.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2.1.2

Запишем $2$ как $1$ плюс $1$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2.1.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.8.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x^{2} + x) + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x + 1) (x - 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.8.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.4

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.5

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.6

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.8.3.9

Умножим $96$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.2

Чтобы записать $24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24 \cdot \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.3

Объединим $24$ и $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.1

Вынесем множитель $24$ из $- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 (x - 3) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.1.1

Вынесем множитель $24$ из $- 96 {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.1.2

Вынесем множитель $24$ из $24 (x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.1.3

Вынесем множитель $24$ из $24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.2

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 ((x - 1) (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.3

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.4.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.6.1

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.6.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.7

Развернем $(x - 3) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x (x + 1) - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.5.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.8.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.8.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.8.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.9

Добавим $- 4 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 8 x - 4 - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.10

Вычтем $2 x$ из $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 4 - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.5.11

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) - (- 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.9

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 6 x) - 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.11

Перепишем $- (3 x^{2} - 6 x + 7)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 3.20.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.3.1

Перепишем $\frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Этап 3.20.3.2

Умножим $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ на $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} ((x - 3) (x + 1))}$

Этап 3.20.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)})$

Этап 3.20.3.4

Умножим $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$

Этап 3.20.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Этап 3.20.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.5.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.5.1.1

$- 3, 1$

Этап 3.20.5.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{((x - 3) (x + 1))}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Этап 3.20.5.2

Применим правило умножения к $(x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Этап 3.20.5.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.5.3.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} ((x + 1) {(x + 1)}^{2}) (x - 3)}$

Этап 3.20.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 2} (x - 3)}$

Этап 3.20.5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3} (x - 3)}$

Этап 3.20.5.3.4

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.20.5.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 3.20.5.3.6

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Этап 5.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ в виде ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 5.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 5.1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 5.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 5.1.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 5.1.3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Этап 5.1.3.8

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Этап 5.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1.1

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 5.1.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 5.1.5.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = - (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 6.3

Приравняем $2 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $2 x - 2$ к $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Этап 6.3.2

Решим $2 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 2$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$x = 1$

Этап 6.4

Приравняем $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ к $0$ .

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$12 = 0$

Этап 6.4.2.2

Поскольку $12 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ верно.

$x = 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

$- 3, 1$

Этап 7.2.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Этап 7.2.1.2

Применим правило умножения к $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 7.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 7.2.3

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.2.3.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.2.3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7.2.4

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 7.2.4.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.2.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 7.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{24 (3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 7)}{{((1) - 3)}^{3} {((1) + 1)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{24 (3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Этап 10.1.4

Вычтем $6$ из $3$ .

$\frac{24 (- 3 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Этап 10.1.5

Добавим $- 3$ и $7$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} \cdot 2^{3}}$

Этап 10.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 2^{3}}$

Этап 10.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 8}$

Этап 10.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $24$ на $4$ .

$\frac{96}{- 8 \cdot 8}$

Этап 10.3.2

Умножим $- 8$ на $8$ .

$\frac{96}{- 64}$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель $96$ и $- 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Вынесем множитель $32$ из $96$ .

$\frac{32 (3)}{- 64}$

Этап 10.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.2.1

Вынесем множитель $32$ из $- 64$ .

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Этап 10.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Этап 10.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{- 2}$

Этап 10.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2}$

Этап 11

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{12}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 \cdot 1 - 3}$

Этап 12.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 - 3}$

Этап 12.2.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 1 - 3}$

Этап 12.2.1.4

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 4}$

Этап 12.2.2

Разделим $12$ на $- 4$ .

$f (1) = - 3$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ .

$(1, - 3)$ — локальный максимум

Этап 14