Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Этап 1

Запишем $x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x + 0 - y + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 0 - y + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.3

Умножим $10$ на $1$ .

$2 x + 0 - y + 10 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + 0$

Этап 2.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x - y + 10 + 0 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2 x - y + 10$ и $0$ .

$2 x - y + 10 + 0$

Этап 2.5.3

Добавим $2 x - y + 10$ и $0$ .

$2 x - y + 10$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x - y + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 3.3.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - y + 10 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.1.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x + 0 - y + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 0 - y + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $10$ на $1$ .

$2 x + 0 - y + 10 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + 0$

Этап 5.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x - y + 10 + 0 + 0$

Этап 5.1.5.2

Добавим $2 x - y + 10$ и $0$ .

$2 x - y + 10 + 0$

Этап 5.1.5.3

Добавим $2 x - y + 10$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - y + 10$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - y + 10$ .

$2 x - y + 10$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - y + 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - y + 10 = 0$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$2 x + 10 = y$

Этап 6.2.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2 x = y - 10$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = y - 10$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = y - 10$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $- 10$ на $2$ .

$x = \frac{y}{2} - 5$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{y}{2} - 5$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{y}{2} - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2$

Этап 10

$x = \frac{y}{2} - 5$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{y}{2} - 5$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{y}{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{y}{2} - 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = {(\frac{y}{2} - 5)}^{2} + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем ${(\frac{y}{2} - 5)}^{2}$ в виде $(\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5)$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = (\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.2

Развернем $(\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot (\frac{y}{2} - 5) - 5 (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1.1

Умножим $\frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1.1.1

Умножим $\frac{y}{2}$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.1.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.1.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.2

Объединим $\frac{y}{2}$ и $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot - 5}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $y$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 5 \cdot y}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 \cdot y}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.5

Объединим $- 5$ и $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 5 y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.1.7

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.3.2

Вычтем $\frac{5 y}{2}$ из $- \frac{5 y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 2 \frac{5 y}{2} + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 2 (- 1) (\frac{5 y}{2}) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{5 y}{2}) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 1 (5 y) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} + (- \frac{y}{2} + 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} + (- \frac{y}{2} + 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y}{2} \cdot y + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.8

Умножим $- \frac{y}{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Объединим $y$ и $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.8.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.8.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2}) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 2 (5) (\frac{y}{2}) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 2 \cdot (5 (\frac{y}{2})) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Этап 11.2.1.11

Умножим $10$ на $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y - 50 - 2 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 5 y$ и $5 y$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 0 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.2.2

Добавим $\frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.3

Чтобы записать $y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.4

Объединим $y^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.6

Добавим $y^{2}$ и $y^{2} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $4$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} + 4 \cdot y^{2}}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.6.2

Добавим $y^{2}$ и $4 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.7

Чтобы записать $- \frac{y^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $5 y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $5 y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 5 - y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.10.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2} \cdot 2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 5 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.10.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 5 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} (5 - 1 \cdot 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.10.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} (5 - 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.10.1.3

Вычтем $2$ из $5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 3}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.10.2

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Этап 11.2.11

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Вычтем $50$ из $25$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 5 y - 25 - 2 y + 5$

Этап 11.2.11.2

Вычтем $2 y$ из $5 y$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 25 + 5$

Этап 11.2.11.3

Добавим $- 25$ и $5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$

Этап 11.2.12

Окончательный ответ: $\frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$ .

$y = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ .

$(\frac{y}{2} - 5, \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20)$ — локальный минимум

Этап 13