Математический анализ Примеры

$\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 1

Запишем $\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x^{2} - 5 x + 6$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 5 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.10

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.2.11

Добавим $2 x - 5$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x - - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Развернем $(- x + 2) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3.1.6

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3.2

Добавим $5 x$ и $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x + 6 + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $- 5 x$ и $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x + 6 - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.2.4

Вычтем $10$ из $6$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 2.3.4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 3) (x - 2))}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Применим правило умножения к $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5.4

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5.5

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5.6

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.6

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ в виде ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot 0$

Этап 3.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ на $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + 0$

Этап 3.4.7.2

Добавим $2 {(x - 3)}^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Этап 3.5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 5

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 6

Нет локальных экстремумов

Этап 7