Математический анализ Примеры

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Этап 1

Запишем $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ в виде функции.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 \cos (θ)$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $θ$ , производная $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ по $θ$ равна $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.3

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.4

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.5

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.6

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.9

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.10

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $θ$ , производная $- 2 \sin (θ)$ по $θ$ равна $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Этап 5

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Этап 7.2

Решим $\sin (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (0)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 7.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 7.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 7.2.5

Решение уравнения $θ = 0$ .

$θ = 0, π$

Этап 8

Приравняем $- \cos (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $- \cos (θ) - 1$ к $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $- \cos (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (θ) = 1$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $- \cos (θ) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (θ) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 8.2.2.2.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Этап 8.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- 1)$

Этап 8.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$θ = π$

Этап 8.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - π$

Этап 8.2.6

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$θ = π$

Этап 8.2.7

Решение уравнения $θ = π$ .

$θ = π, π$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 0, π$

Этап 10

Найдем вторую производную в $θ = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Этап 11.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Этап 11.1.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + 0 - 2$

Этап 11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2 - 2$

Этап 11.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$- 4$

Этап 12

$θ = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$θ = 0$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $θ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $0$ .

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Этап 13.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2 + \cos^{2} (0)$

Этап 13.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 + 1^{2}$

Этап 13.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (0) = 2 + 1$

Этап 13.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (0) = 3$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 14

Найдем вторую производную в $θ = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.9

Умножим $2$ на $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (π)$

Этап 15.1.10

$- 2 + 0 - 2 (- \cos (0))$

Этап 15.1.11

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 + 0 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.1.12

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.12.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot - 1$

Этап 15.1.12.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 + 0 + 2$

Этап 15.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2 + 2$

Этап 15.2.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 16

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $θ$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Этап 16.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Этап 16.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1.1

Найдем значение $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Этап 16.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Этап 16.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742 - 2 \sin (- 2)$

Этап 16.2.2.1.4

Умножим $0.83229367$ на $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Этап 16.2.2.1.5

Найдем значение $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Этап 16.2.2.1.6

Умножим $- 2$ на $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 + 1.81859485$

Этап 16.2.2.2

Добавим $- 0.75680249$ и $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 1.06179235$

Этап 16.2.2.3

Окончательный ответ: $1.06179235$ .

$1.06179235$

Этап 16.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, π)$ в первую производную $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $2$ .

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2) - 2 \sin (2)$

Этап 16.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.1.1

Найдем значение $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 2 \sin (2)$

Этап 16.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2) - 2 \sin (2)$

Этап 16.3.2.1.3

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742 - 2 \sin (2)$

Этап 16.3.2.1.4

Умножим $0.83229367$ на $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Этап 16.3.2.1.5

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Этап 16.3.2.1.6

Умножим $- 2$ на $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 1.81859485$

Этап 16.3.2.2

Вычтем $1.81859485$ из $0.75680249$ .

$f' (2) = - 1.06179235$

Этап 16.3.2.3

Окончательный ответ: $- 1.06179235$ .

$- 1.06179235$

Этап 16.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(π, \infty)$ в первую производную $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $6$ .

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6) - 2 \sin (6)$

Этап 16.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.1.1

Найдем значение $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6)) - 2 \sin (6)$

Этап 16.4.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0.96017028$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6) - 2 \sin (6)$

Этап 16.4.2.1.3

Найдем значение $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549 - 2 \sin (6)$

Этап 16.4.2.1.4

Умножим $- 1.92034057$ на $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \sin (6)$

Этап 16.4.2.1.5

Найдем значение $\sin (6)$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \cdot - 0.27941549$

Этап 16.4.2.1.6

Умножим $- 2$ на $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 + 0.55883099$

Этап 16.4.2.2

Добавим $0.53657291$ и $0.55883099$ .

$f' (6) = 1.09540391$

Этап 16.4.2.3

Окончательный ответ: $1.09540391$ .

$1.09540391$

Этап 16.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $θ = 0$ , $θ = 0$ — локальный максимум.

$θ = 0$ — локальный максимум

Этап 16.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $θ = π$ , $θ = π$ — локальный минимум.

$θ = π$ — локальный минимум

Этап 16.7

Это локальные экстремумы $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ .

$θ = 0$ — локальный максимум

$θ = π$ — локальный минимум

$θ = 0$ — локальный максимум

$θ = π$ — локальный минимум

Этап 17