Математический анализ Примеры

$\frac{c x + a}{a x + b}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ имеет вид $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , где $f (c) = c x + a$ и $g (c) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d c} [c x + a] - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $c x + a$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d c} [c x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $c$ , производная $c x$ по $c$ равна $x \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(a x + b) (x \frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (x \cdot 1 + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(a x + b) (x + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $a$ является константой относительно $c$ , производная $a$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(a x + b) (x + 0) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $a x + b$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b]$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $a x$ является константой относительно $c$ , производная $a x$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $b$ является константой относительно $c$ , производная $b$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 4.6

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot x + b x + (- (c x) - a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{a (x \cdot x) + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- c x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 c x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $0$ на $c$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2.3

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $- a \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0 a}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3.2

Умножим $0$ на $a$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Объединим противоположные члены в $a x^{2} + b x + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $a x^{2} + b x$ и $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Добавим $a x^{2} + b x$ и $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} a + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} a + b x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} a$ .

$\frac{x (x a) + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $x$ из $b x$ .

$\frac{x (x a) + x b}{{(b + a x)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x a) + x b$ .

$\frac{x (x a + b)}{{(b + a x)}^{2}}$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $x a + b$ и ${(b + a x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x (b + a x)}{{(b + a x)}^{2}}$

Этап 5.7.2

Вынесем множитель $b + a x$ из $x (b + a x)$ .

$\frac{(b + a x) x}{{(b + a x)}^{2}}$

Этап 5.7.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Вынесем множитель $b + a x$ из ${(b + a x)}^{2}$ .

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Этап 5.7.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Этап 5.7.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{b + a x}$