Математический анализ Примеры

$v = \frac{2 t}{{(t + 1)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ имеет вид $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , где $f (v) = 2 t$ и $g (v) = {(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \frac{d}{d v} [2 t] - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2 t$ является константой относительно $v$ , производная $2 t$ относительно $v$ равна $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем ${(t + 1)}^{2}$ в виде $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [(t + 1) (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3

Развернем $(t + 1) (t + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t (t + 1) + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $t$ и $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + 2 t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 5

Поскольку $t^{2} + 2 t + 1$ является константой относительно $v$ , производная $t^{2} + 2 t + 1$ относительно $v$ равна $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем ${(t + 1)}^{2}$ в виде $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{(t + 1) (t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.2

Развернем $(t + 1) (t + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t (t + 1) + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{(t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.3.1.2

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.3.1.3

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.3.2

Добавим $t$ и $t$ .

$\frac{(t^{2} + 2 t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.4

Умножим $t^{2} + 2 t + 1$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0 - 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.6

Умножим $- 2 t \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.1

Умножим $0$ на $- 2$ .

$\frac{0 + 0 t}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.1.6.2

Умножим $0$ на $t$ .

$\frac{0 + 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${({(t + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{4}}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на ${(t + 1)}^{4}$ .

$0$