Математический анализ Примеры

$y = \frac{{(x - 6)}^{9}}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x - 6)}^{9}$ и $g (x) = {(x - 5)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{9}] - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + 0)) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \cdot 1) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ из ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8} - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ из ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ из $- {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ из ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x \cdot 9 - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.3.2

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.3.3

Умножим $- 5$ на $9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 45 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.3.5

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.4

Вычтем $6 x$ из $9 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 45 + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.5

Добавим $- 45$ и $36$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.6

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x) - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.6.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x + 3 \cdot - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.1.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x - 3))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} \cdot 3 (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $3$ влево от ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{3 \cdot ({(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}) (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{6 \cdot 2}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{12}}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{5}$ и ${(x - 5)}^{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{5}$ из $3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{12}}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{5}$ из ${(x - 5)}^{12}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{7}}$