Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ , $x = 1$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 1$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Этап 3

Найдем значение $f (1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Этап 3.2

Упростим $\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$\cos (\frac{π}{6})$

Этап 3.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{π}{6} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π}{6} x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Этап 4.1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Этап 4.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π}{6} x$ .

$- \sin (\frac{π}{6} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $\frac{π}{6}$ и $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Этап 4.1.2.2

Объединим $\frac{π}{6}$ и $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}]$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{6}$ по $x$ равна $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{π}{6}$ и $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π (1)}{6})}{6}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $π$ на $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π}{6})}{6}$

Этап 4.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \frac{1}{2}}{6}$

Этап 4.3.3

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6})$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 6}$

Этап 4.3.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{π}{12}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} (x - 1)$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} x - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{π}{12}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Этап 6.3

Умножим $- \frac{π}{12} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + 1 (\frac{π}{12})$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{π}{12}$ на $1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + \frac{π}{12}$

Этап 7