Математический анализ Примеры

${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{4}$ и $g (w) = 1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $w$ , производная $1$ относительно $w$ равна $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{w^{3} + 3}$ в виде ${(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $w^{3} + 3$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [3]))$

Этап 3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $w$ , производная $3$ относительно $w$ равна $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + 0))$

Этап 3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Этап 3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Этап 3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Этап 3.11

Добавим $3 w^{2}$ и $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2}))$

Этап 3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 w^{2}))$

Этап 3.13

Объединим $3$ и $\frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} w^{2})$

Этап 3.14

Объединим $\frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $w^{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} w^{2}}{2})$

Этап 3.15

Перенесем ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4

Добавим $0$ и $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $4$ .

$\frac{3 w^{2} \cdot 4}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ .

$\frac{12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2$ из $12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ .

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 ({(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 5.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$