Математический анализ Примеры

$70 x - 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}$

Этап 1

По правилу суммы производная $70 x - 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [70 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $70$ является константой относительно $x$ , производная $70 x$ по $x$ равна $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Этап 2.3

Умножим $70$ на $1$ .

$70 + \frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$ .

$70 - 2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{6}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$70 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$70 - 2 (6 u^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2}])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]))$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]))$

Этап 3.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 (3 x^{2}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (3 (3 x^{2}) - 2 (2 x)))$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $3$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2} - 2 (2 x)))$

Этап 3.9

Умножим $2$ на $- 2$ .

$70 - 2 (6 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2} - 4 x))$

Этап 3.10

Умножим $6$ на $- 2$ .

$70 - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2} - 4 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$70 - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (9 x^{2}) - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (- 4 x)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $9$ на $- 12$ .

$70 - 108 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} x^{2} - 12 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} (- 4 x)$

Этап 4.2.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$70 - 108 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} x^{2} + 48 {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} x$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$- 108 x^{2} {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} + 48 x {(3 x^{3} - 2 x^{2})}^{5} + 70$