Математический анализ Примеры

$\log_{2} (1 + x^{2})$

Этап 1

Запишем $\log_{2} (1 + x^{2})$ в виде функции.

$f (x) = \log_{2} (1 + x^{2})$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{2} (x)$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.1.1.2

Производная $\log_{2} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (2)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (2)} (2 x)$

Этап 2.1.2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (2)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (2)} x$

Этап 2.1.2.5.2

Объединим $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (2)}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (2)}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x}{1 \ln (2) + x^{2} \ln (2)}$

Этап 2.1.3.2

Умножим $\ln (2)$ на $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (2) + x^{2} \ln (2)}$

Этап 2.1.3.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x}{x^{2} \ln (2) + \ln (2)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x}{x^{2} \ln (2) + \ln (2)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (2) + \ln (2)} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (2) + \ln (2)}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \log_{2} (1 + x^{2})$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\ln (2)$ на $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (2) + \ln (2)}$

Этап 6.2.2.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (2 \cdot 2)}$

Этап 6.2.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (4)}$

Этап 6.2.3

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (2^{2})}$

Этап 6.2.4

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (2)}$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (2)}$

Этап 6.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (2)$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (2))}$

Этап 6.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (2)}$

Этап 6.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (2)}$

Этап 6.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (2)}$

Этап 6.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)}$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{1}{\ln (2)}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (2) + \ln (2)}$

Этап 7.2.2.2

Умножим $\ln (2)$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (2) + \ln (2)}$

Этап 7.2.2.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (2 \cdot 2)}$

Этап 7.2.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (4)}$

Этап 7.2.3

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (2^{2})}$

Этап 7.2.4

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (2)}$

Этап 7.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (2)}$

Этап 7.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (2)}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{\ln (2)}$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{1}{\ln (2)}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 9