Математический анализ Примеры

$0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Этап 1

Запишем $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ в виде функции.

$f (x) = 0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $0.05$ является константой относительно $x$ , производная $0.05 x$ по $x$ равна $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $0.05$ на $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $500$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{500}{x}$ по $x$ равна $500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.1.4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 500 (- x^{- 2})$

Этап 2.1.4.4

Умножим $- 1$ на $500$ .

$0.05 + 0 - 500 x^{- 2}$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Добавим $0.05$ и $0$ .

$0.05 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.5.2.2

Объединим $- 500$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 500}{x^{2}}$

Этап 2.1.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0.05 - \frac{500}{x^{2}}$

Этап 2.1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $0.05$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 3.4

Каждый член в $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ на $x^{2}$ .

$- \frac{500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{500}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 500 = - 0.05 x^{2}$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 0.05 x^{2} = - 500$ .

$- 0.05 x^{2} = - 500$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- 0.05 x^{2} = - 500$ на $- 0.05$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- 0.05 x^{2} = - 500$ на $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 0.05$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Разделим $- 500$ на $- 0.05$ .

$x^{2} = 10000$

Этап 3.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{10000}$

Этап 3.5.4

Упростим $\pm \sqrt{10000}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перепишем $10000$ в виде $100^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{100^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 100$

Этап 3.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 100$

Этап 3.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 100$

Этап 3.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 100, - 100$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $100, - 100$ .

$100, - 100$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{500}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 100) \cup (- 100, 0) \cup (0, 100) \cup (100, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 100)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 101$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{{(- 101)}^{2}} + 0.05$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $- 101$ в степень $2$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $0.05$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Этап 7.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Объединим $0.05$ и $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Этап 7.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Этап 7.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $0.05$ на $10201$ .

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Этап 7.2.4.2

Добавим $- 500$ и $510.05$ .

$f' (- 101) = \frac{10.05}{10201}$

Этап 7.2.5

Разделим $10.05$ на $10201$ .

$f' (- 101) = 0.00098519$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $0.00098519$ .

$0.00098519$

Этап 7.3

При $x = - 101$ производная имеет вид $0.00098519$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 100)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 100)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 100, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 50$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{{(- 50)}^{2}} + 0.05$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $- 50$ в степень $2$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Этап 8.2.1.2

Сократим общий множитель $500$ и $2500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Вынесем множитель $500$ из $500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Этап 8.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $500$ из $2500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Этап 8.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Этап 8.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $0.05$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим $0.05$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Этап 8.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Этап 8.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $0.05$ на $5$ .

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Этап 8.2.4.2

Добавим $- 1$ и $0.25$ .

$f' (- 50) = \frac{- 0.75}{5}$

Этап 8.2.5

Разделим $- 0.75$ на $5$ .

$f' (- 50) = - 0.15$

Этап 8.2.6

Окончательный ответ: $- 0.15$ .

$- 0.15$

Этап 8.3

При $x = - 50$ производная имеет вид $- 0.15$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 100, 0)$ .

Убывание на $(- 100, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, 100)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $50$ .

$f' (50) = - \frac{500}{{(50)}^{2}} + 0.05$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $50$ в степень $2$ .

$f' (50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Этап 9.2.1.2

Сократим общий множитель $500$ и $2500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Вынесем множитель $500$ из $500$ .

$f' (50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Этап 9.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $500$ из $2500$ .

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Этап 9.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Этап 9.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $0.05$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Объединим $0.05$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Этап 9.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Этап 9.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $0.05$ на $5$ .

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Этап 9.2.4.2

Добавим $- 1$ и $0.25$ .

$f' (50) = \frac{- 0.75}{5}$

Этап 9.2.5

Разделим $- 0.75$ на $5$ .

$f' (50) = - 0.15$

Этап 9.2.6

Окончательный ответ: $- 0.15$ .

$- 0.15$

Этап 9.3

При $x = 50$ производная имеет вид $- 0.15$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 100)$ .

Убывание на $(0, 100)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(100, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $101$ .

$f' (101) = - \frac{500}{{(101)}^{2}} + 0.05$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $101$ в степень $2$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Этап 10.2.2

Чтобы записать $0.05$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Этап 10.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Объединим $0.05$ и $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Этап 10.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Этап 10.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Умножим $0.05$ на $10201$ .

$f' (101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Этап 10.2.4.2

Добавим $- 500$ и $510.05$ .

$f' (101) = \frac{10.05}{10201}$

Этап 10.2.5

Разделим $10.05$ на $10201$ .

$f' (101) = 0.00098519$

Этап 10.2.6

Окончательный ответ: $0.00098519$ .

$0.00098519$

Этап 10.3

При $x = 101$ производная имеет вид $0.00098519$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(100, \infty)$ .

Возрастание в области $(100, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 100), (100, \infty)$

Убывание на: $(- 100, 0), (0, 100)$

Этап 12