Математический анализ Примеры

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Этап 1

Запишем $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 36$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 36$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.7

Объединим $7$ и $\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.1.3

Умножим $2$ на $36$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (72 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.1.4

Умножим $72$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.2.1

Вычтем $14 x^{3}$ из $14 x^{3}$ .

$\frac{504 x + 0}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.1.8.4.2.2

Добавим $504 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$504 x = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $504 x = 0$ на $504$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $504 x = 0$ на $504$ .

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $504$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{504}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $504$ .

$x = 0$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{504 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $504$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1$ и $36$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{37^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $37$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{1369}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{504}{1369}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{504}{1369}$ .

$- \frac{504}{1369}$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{504}{1369}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{504 (1)}{{({(1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $504$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{504}{{(1^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $1$ и $36$ .

$f' (1) = \frac{504}{37^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $37$ в степень $2$ .

$f' (1) = \frac{504}{1369}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $\frac{504}{1369}$ .

$\frac{504}{1369}$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{504}{1369}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 9