Математический анализ Примеры

$e^{- 1.5 x^{2}}$

Этап 1

Запишем $e^{- 1.5 x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Этап 2.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 1.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.5 x^{2}$ по $x$ равна $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Этап 2.1.3.2

Изменим порядок множителей в $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{- 1.5 x^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{- 1.5 x^{2}}$ к $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ верно.

$x = 0$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1.5$ на $1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

Этап 6.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Этап 6.2.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

Этап 6.2.6

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Этап 6.2.7

Возведем $2.71828182$ в степень $1.5$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

Этап 6.2.8

Разделим $3$ на $4.48168907$ .

$f' (- 1) = 0.66939048$

Этап 6.2.9

Окончательный ответ: $0.66939048$ .

$0.66939048$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $0.66939048$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1.5$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

Этап 7.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Этап 7.2.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

Этап 7.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

Этап 7.2.7

Заменим $e$ приближением.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Этап 7.2.8

Возведем $2.71828182$ в степень $1.5$ .

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

Этап 7.2.9

Разделим $3$ на $4.48168907$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

Этап 7.2.10

Умножим $- 1$ на $0.66939048$ .

$f' (1) = - 0.66939048$

Этап 7.2.11

Окончательный ответ: $- 0.66939048$ .

$- 0.66939048$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 0.66939048$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0)$

Убывание на: $(0, \infty)$

Этап 9