Математический анализ Примеры

$\frac{4}{3}$ , $\frac{16}{3}$ , $\frac{64}{3}$ , $\frac{256}{3}$ , $\frac{1024}{3}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $4$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = 4$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = \frac{4}{3}$ и $r = 4$ .

$a_{n} = \frac{4}{3} \cdot 4^{n - 1}$

Этап 4

Умножим $\frac{4}{3} \cdot 4^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $4^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{4 \cdot 4^{n - 1}}{3}$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $4^{n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $4$ на $4^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$a_{n} = \frac{4^{1} \cdot 4^{n - 1}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a_{n} = \frac{4^{1 + n - 1}}{3}$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $1 + n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a_{n} = \frac{4^{n + 0}}{3}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$a_{n} = \frac{4^{n}}{3}$

Этап 5

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 6

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(4)}^{5} - 1}{4 - 1}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1024 - 1}{4 - 1}$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из $1024$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1023}{4 - 1}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1023}{3}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $1023$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (341)}{3}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 \cdot 341}{3}$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = 4 \cdot \frac{341}{3}$

Этап 8.3

Объединим $4$ и $\frac{341}{3}$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot 341}{3}$

Этап 8.4

Умножим $4$ на $341$ .

$S_{5} = \frac{1364}{3}$